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数学奥林匹克小丛书--初中卷：三角形的垂心

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正文



第七章   三角形的四心   

    本节重点： 三角形的重心、外心、内心、垂心及其基本性质
    我们可以证明：三角形的三条中线、三边的中垂线、三角的角平分线、三边的垂线各交于一点，本章节我们将学习重心、外心、内心及垂心的定义，并了解他们的具体性质和有用的定理。

    接下来介绍垂心：

  •  定义
三角形三条高线交于一点，称为垂心
证明：由塞瓦定理或者四点共圆的性质易证.

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    这个比例式也有多种证明方法，例如可以计算证明：设出三边和三个角用三角函数将线段全部表示出来；下面我们介绍几何证法：
图片

图片

    接下来我们便利用高线交于一点这一简单的性质来证明一道俄罗斯竞赛题：

图片

    题中M点位置受K点位置影响，有可能在△AKD内（如图），也有可能在△AKD之外，我们不妨考虑第一种情形。本题的做法巧妙地运用了平移这一几何变换，以及三条高线交于一点的事实，不需要知道MK和AD的具体关系就可以证明垂直。

图片


拓展应用
1、本题用到的垂心的性质十分简单，证明的结论却有一定深度，值得细细推敲品味。
2、垂心的其他基本性质：
  •  性质1
    三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边。
  •  性质2
    三角形的垂心与三个顶点组成一个垂心组。（任意一点都是其余三点组成三角形的垂心）
  •  性质3

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发布于 2024-04-23 10:51

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